禁止抽烟的管理部门主要是 市和区、县卫生计生行政部门。这些部门负责组织、协调和控制吸烟工作，并制定相关政策、措施，开展卫生监督管理，受理违法吸烟的举报投诉，并依法查处违法行为。
具体职责划分如下：
市卫生计生行政部门：
负责全市控制吸烟工作的组织、协调，制定控制吸烟的政策、措施，开展控制吸烟的卫生监督管理，受理违法吸烟的举报投诉，并依法查处违法行为。
区县卫生计生行政部门：
负责本行政区域内控制吸烟管理工作的组织、协调。
镇人民政府和街道办事处：
按照属地管理原则，配合相关行政管理部门做好本辖区内的控制吸烟工作。
此外，其他相关部门也按照各自职责，对特定场所或领域内的控制吸烟工作进行监督管理：
教育、人力资源和社会保障、民政等行政管理部门分别负责学校、学前教育机构、教育培训机构、社会福利机构的控制吸烟工作。
食品药品监督行政管理部门负责餐饮业经营场所、药品销售经营场所的控制吸烟工作。
公安机关负责互联网上网服务营业场所的控制吸烟工作。
文化广电新闻出版行政管理部门负责图书馆、文化馆及娱乐、影剧院等公共场所的控制吸烟工作。
城市管理部门负责其管辖范围内公共场所的控制吸烟工作。
交通运输行政管理部门、城市轨道交通经营单位按照各自职责，负责公共交通工具及其有关公共场所的控制吸烟工作。
文物、宗教等行政管理部门分别负责监督文物保护单位、博物馆等场所的控制吸烟工作，体育、旅游等行政管理部门分别负责公共体育场馆、A级旅游景点等场所的控制吸烟工作。
物业管理行政管理部门、开发区管委会按照各自职责，负责物业管理区域内公共电梯的控制吸烟工作。
建议：
公众应积极参与控烟工作，遵守相关法律法规，共同维护公共健康环境。
各相关部门应加强协作，形成合力，确保控烟措施的有效实施。
加强对控烟工作的宣传和教育，提高公众对吸烟危害的认识和自我保健意识。