开车的相关管理部门包括：
公安交通部门
车管所：负责机动车的注册、变更、转移、抵押、注销登记，以及机动车驾驶证的申请、补领、换领、审验等业务。
交警队：负责交通管理、执法，包括处理交通事故、酒驾、超速等违法行为。
交通运输部门
运管处或运管所：对驾校的日常经营和场地训练、教练员进行监督管理。
车辆检查站
机动车检查站：负责机动车的审车工作。
驾驶员管理部门
后勤部门、办公室：负责司机的管理，包括招聘、培训、考核等。
综上所述，开车涉及的部门较多，主要包括公安交通部门的车管所、交警队，交通运输部门的运管处或运管所，以及车辆检查站等。具体业务办理和监管则根据相关法律法规和部门职责进行分工。